ANALISI IN FREQUENZA

 

Rumore: come dice la parola stessa, è un segnale casuale non deterministico assolutamente irriproducibile uguale a se stesso.

In un suono reale sono sempre mescolate un certo numero di sinusoidi discrete con opportune ampiezze, frequenze, fasi e una base “indistinta” di rumore a spettro ampio o banda larga che è costituito da una successione completamente casuale di valori.

A noi interessa analizzare il suono a frequenze diverse, quindi partire da una rappresentazione di un segnale nel dominio del tempo (la forma d’onda) ed arrivare a definire “lo spettro” . Esso è una rappresentazione grafica su piano cartesiano con in ascissa la frequenza ed in ordinata una grandezza rappresentativa dell’ampiezza del suono (ad esempio la pressione) espressa in dB. Il concetto di spettro deriva dall’ottica, scienza molto simile all’acustica, dove, data una luce, si cerca di scomporla nelle sue componenti cromatiche che sono onde a diversa frequenza e lunghezza d’onda.

Un tono, come ad esempio una sinusoide a frequenza 1 kHz, viene rappresentato nello spettro con una singola riga alla frequenza di 1 kHz (vedi fig. 1).

Fig.1 Tono a 1 kHz

 

Ricordiamo che L_P corrisponde alla pressione RMS del suono considerato.

In generale lo spettro di un segnale non è formato da una singola riga ad una particolare frequenza. Se il suono ha delle armoniche, come è tipico per gli strumenti musicali, avremo oltre alla riga fondamentale delle componenti ad altre frequenze multiple come, ad esempio, a 2000 Hz, 3000 Hz, 4000… (vedi fig. 2)

 

Fig.2 Armoniche di un suono

Questo è definito suono armonico complesso, ed è comunque periodico con periodo che coincide con quello della fondamentale; nel caso visto in fig. 2 il segnale nel tempo potrebbe essere del tipo in fig. 3.

Fig.3 Suono armonico complesso

 

Anche questo è un caso particolare; in generale possiamo avere segnale armonico complesso aperiodico nel quale, pur rimanendo costanti le ampiezze delle armoniche, variano le fasi, deformando la forma d’onda: in questo caso ho che lo spettro rimane invariato, ma nella rappresentazione del suono nel dominio del tempo non riesco più a distinguere una parte che si ripete. Esiste anche il suono disarmonico o inarmonico nel quale ci sono componenti a frequenze che non sono multiple della fondamentale, dove possiamo avere anche “subarmoniche”, cioè componenti a frequenze minori della fondamentale. Tutti questi tipi di suoni hanno rappresentazioni a righe isolate.

Passiamo ora ad un’analisi più specifica del rumore:

come già detto è un segnale in banda larga ovvero dato qualunque intervallo Df sull’asse delle frequenze da f₁ a f₂, come in fig. 4, se vado a vedere l’energia che comprende questa finestra scopro che, in generale, non sarà nulla perché un segnale in banda larga ha sempre energia su tutto lo spettro.

Fig. 4 Segnale in banda larga

 

Questa energia è continua quindi:

                               (1)

dove Df è il campo di frequenze ed E è l’energia contenuta. Dato che questo limite è finito significa che c’è energia infinitamente densa su tutto lo spettro.

Se vado allora ad analizzare il rumore con una serie di filtri che hanno tutti lo stesso campo di frequenze troverò uno spettro del tipo in fig. 5.

Fig.5 Spettro di un rumore analizzato da una serie di filtri

 

Se, ad esempio, Df=100 Hz e vado a vedere l’energia che ho in ogni intervallo, allora faccio “un’analisi per bande”. Quando ho un suono complesso che ha una componente di rumore non trascurabile non posso sapere dove ho energia e quindi mi serve un banco di filtri che mi copra tutto lo spettro del segnale. Lo schema del dispositivo sarà quello di fig. 6.

Fig.6 Schema dispositivo banco di filtri

 

Ogni filtro è un circuito elettrico che lascia passare solamente un intervallo di frequenze prestabilite e che isola una parte ben precisa dello spettro. All’uscita del filtro metto un rivelatore RMS che mi calcola il valore medio efficace del segnale.

Esistono fondamentalmente due tipi di spettri per bande:

·        Spettro a bande costanti

·        Spettro a bande ad ampiezza percentuale costante

Il primo è del tipo che abbiamo appena visto, in cui ogni filtro ha un’apertura in frequenza (intesa come numero di Hertz) che è costante su tutto lo spettro. Se Df=100 Hz (esempio sopra) per coprire lo spettro 20 Hz ¸ 20 kHz mi servono 200 filtri.

Il secondo è costituito da bande nelle quali è costante il rapporto tra l’ampiezza delle bande e la frequenza di centro banda.

Il secondo tipo è quello più utilizzato per due motivi:

1)      È la classica banda musicale: l’ottava. Essa è definita come un raddoppio in frequenza, quindi avere l’asse delle frequenze scalato per ottave significa avere un banco di filtri ad altezza percentuale costante per cui ogni banda successiva è larga il doppio della precedente; ad esempio, prendendo la banda d’ottava dei 1000 Hz quella dopo è quella dei 2000 Hz e cosi via… Oltre alle bande d’ottava si utilizzano bande a frazioni d’ottava dove la più usata è quella a terzi d’ottava. È la più comune perché l’ampiezza di una di queste bande è sostanzialmente uguale alla banda critica. (Ricordiamo che la frequenza critica per un segnale a 1000 Hz è 160 Hz che è uguale alla banda a terzi d’ottava centrata a 1000 Hz)

2)      Un’analisi per bande ad ampiezza percentuale costante date da tre bande per ogni raddoppio di frequenza (bande a terzi d’ottava) corrisponde con buona approssimazione al sistema fisiologico umano per frequenze superiori a 600 Hz (frequenze medie ed alte). Per frequenze minori l’analisi per bande a terzi d’ottava non tiene conto della maggiore risoluzione del sistema uditivo umano.

Per coprire l’intero campo delle frequenze udibili ci vogliono 10 filtri d’ottava, ciascuno dei quali ha una frequenza di centro banda doppia di quella del filtro precedente (vedi tabella1):

 

Tabella 1

Per f_c10=16 kHz siamo già ben oltre la frequenza dei 20 kHz in quanto f_c10 indica la frequenza di centro banda. Quando passo alle bande in terzi d’ottava mi serviranno, ovviamente, 30 filtri.

Le frequenze di centro banda sono normalizzate dall’IEC (International Electrotechnical Commision),organismo internazionale che stabilisce le frequenze di centro banda, quelle dei fianchi dei filtri sia per l’analisi in ottave sia per quelle in terzi.

In un grafico in funzione della frequenza un filtro passa - banda si può rappresentare con una zona in cui il guadagno è pressoché costante e pari a 0 db (banda efficace, Df) e con due zone, ai lati della prima, in cui il guadagno decresce fino a valori trascurabili (fig. 7). La banda efficace è compresa tra f₁ e f₂, che sono le frequenze di taglio, poste a metà energia rispetto alla banda passante; per definizione G(f₁) = G(f₂) = -3 db. f_c è la frequenza di centro banda, tale che G(f_c) = 0 db.

 

Fig. 7 Risposta in frequenza di un filtro passa - banda

 

Bisogna notare che un filtro ideale dovrebbe avere la curva del guadagno fatta come un impulso rettangolare (in frequenza), ma finché il dispositivo è realizzato con componenti passivi i fronti di salita e di discesa non potranno mai essere verticali.

Ad es., se un filtro ha f₁ = 707 Hz e f₂ = 1414 Hz qualsiasi suono al di fuori di questo intervallo di frequenze non dovrebbe passare, ma in realtà queste componenti, anche se attenuate, si ritrovano ugualmente in uscita.

Consideriamo l’ottava dei 1000 Hz e quella dei 2000 Hz come in fig. 8:

                                                         Fig. 8

 

Con un segnale che sta proprio alla frequenza di 1414 Hz con ampiezza 100 dB non vedrò all’uscita dell’analizzatore un picco, ma entrambe le bande segnare 97 dB (infatti sommandole con la regola dei dB, 97 dB + 97 dB = 100 dB). L’IEC specifica la pendenza dei fronti di salita, di discesa e l’ampiezza della banda passante per i filtri da usare. Un filtro che soddisfa queste regole si dice “a norma”, quando abbiamo un banco di filtri a norma possiamo fare un’analisi spettrale a norma.

Utilizzando un analizzatore di spettro software come SpectraRTA scaricato dal sito internet http:\\www.soundtechnology.com è possibile analizzare in tempo reale lo spettro di un suono (RTA ® “Real Time Analyzer”). Si dice “in tempo reale”  perché il programma mostra i valori in ingresso direttamente sullo schermo senza dover registrare il suono prima per poi elaborarlo. L’applicativo, tra le tante opzioni, offre la possibilità di fare un’analisi in ottava, terzi, sesti, noni dodicesimi d’ottava. Iniziamo con l’analisi in ottava di un segnale a 1414 Hz per verificare le considerazioni fatte prima.

Fig. 9 Analisi di un tono a 1414 Hz in ottave

 

Dalla fig. 9 vediamo che entrambe le bande sono all’incirca allo stesso valore, la loro somma mi dà il valore in dB del segnale di ingresso. In questo caso si nota che l’analizzatore non riesce a distinguere se il suono è in una banda o in quella vicina perché entrambe i filtri stanno lavorando.

N.B.: la dicitura in ordinata SLP indica “sound pressur level” ovvero il livello di pressione sonora espressa in dB.

Esaminando lo stesso esempio in terzi d’ottava si vede (fig. 10).

fig. 10 Analisi in terzi d’ottava

 

I filtri usati dall’analizzatore software hanno fianchi molto ripidi perché sono implementati da un algoritmo di calcolo numerico (abbastanza potenti) e quindi la zona di incrocio è molto stretta.

Un parametro molto importante nell’analisi in tempo reale è la costante di tempo; la media può essere fatta con una costante di tipo:

·        FAST: ha tempo di integrazione pari a 125 ms. e corrisponde, all’incirca, al tempo di integrazione del sistema uditivo umano (quello che si vede sul monitor corrisponde  a quello che si sente)

·        SLOW: ha tempo di integrazione pari a 1 s.

·        FOREVER: ha tempo di integrazione infinito; il sistema continua a integrare i valori in ingresso.

Per migliorare l’analisi si può inserire la curva di “ponderazione A” con la caratteristica di fig. 11:

Fig. 11 Caratteristica curva di ponderazione

 

Dalle seguenti figure, inoltre, si può notare la differenza tra uno spettro con curva di ponderazione A (fig. 12) ed uno senza (fig13):

 

Fig. 12 Spettro con curva “A”                  Fig. 13 Spettro senza curva “A”

 

Le basse frequenze vengono completamente attenuate come pure quelle a 16 kHz e a 20 kHz. Il sistema riprodotto da SpectralRTA con banda in terzi d’ottava, con costante FAST e curva di ponderazione A, corrisponde molto al sistema uditivo umano. Non è detto, però, che questi settaggi siano ottimali per effettuare misure spettrometriche. Spesso serve avere una maggiore risoluzione in ferequenza come ad esempio in sesti d’ottava.

 

In Italia esiste una legge che stabilisce le modalità di misura acustiche. È il DPCM del 16 Marzo 1998 del quale riportiamo i vari allegati:

 

Soffermiamoci ora sul riconoscimento di componenti tonali (CT) di rumore in una misura (punto 10 – allegato B della normativa appena esposta):

"Al fine di individuare la presenza di componenti tonali nel rumore, si effettua un’analisi spettrale per bande normalizzate di 1/3 di ottava. L’analisi deve essere svolta nell’intervallo di frequenza compreso tra 20 Hz e 20 kHz. Si considerano esclusivamente le componenti tonali aventi carattere stazionario nel tempo ed in frequenza. Se si utilizzano filtri sequenziali si determina il minimo di ciascuna banda con costante di tempo Fast. Se si utilizzano filtri paralleli, il livello dello spettro stazionario è evidenziato dal livello minimo in ciascuna banda."

 

Il decreto richiede di fare un’analisi spettrale per bande normalizzate di 1/3 di ottava, considerando solo le componenti di carattere stazionario (in tempo e in frequenza).  Si deve poi determinare il minimo di ogni banda con costante di tempo FAST e realizzare il diagramma frequenza per frequenza delle bande così normalizzate.

Il decreto quindi continua:

 

"Si è in presenza di una componenti tonale se il livello minimo di una banda supera i livelli minimi delle bande adiacenti per almeno 5 dB"

 

Può tuttavia sorgere un problema: dato che i filtri di 1/3 di ottava hanno i fianchi non verticali (Fig. 14), può avvenire una sovrapposizione di due bande, il che nasconde la presenza della componenti tonali stesse, perché fa elevare allo stesso modo due bande vicine.

 

Fig. 14  - Grafico del filtro di 1/3 di ottava

 

Il decreto a proposito afferma che:

"Per evidenziare componenti tonali che si trovano alla frequenza di incrocio di due filtri ad 1/3 di ottava, possono essere usati filtri con maggiore potere selettivo o frequenze di incrocio alternative."

Quindi si deve effettuare un'ulteriore misurazione in 1/6 di ottava e poi riunire nei due differenti modi possibili (Fig. 15 a) e b) ) i 1/6 di ottava per formare due grafici in 1/3 di ottava: confrontando questi due, si potrà determinare la presenza o meno delle componenti tonali.

 

Fig. 15 a) - Spettro in terzi di ottava (primo modo)

 

Fig. 15 b) - Spettro in terzi di ottava (secondo modo)

 

In questo caso si vede che la componente a 90 Hz potrebbe essere una componente tonale perché supera i livelli minimi delle bande adiacenti per almeno 5 dB.

Con un semplice calcolo si può inoltre determinare la probabilità di avere sovrapposizione. Infatti confrontando in Fig. 14 la larghezza della zona di incrocio che misura 54 Hz con la larghezza del filtro di ottava (di 174 Hz) scopriamo che (considerando sia il fianco destro che quello sinistro) la probabilità di avere una sovrapposizione è circa del 31% (quindi molta alta!).

 

 Prima di applicare il fattore di correzione di 3 dB(A), deve essere fatto un ultimo controllo:

 

"Si applica il fattore di correzione soltanto se la componente tonale tocca una isofonica eguale o superiore a quella più elevata raggiunta dalle altre componenti dello spettro."

 

 

Fig. 16 - Verifica della componente tonale con le isofoniche

 

Ad una prima osservazione del grafico sembrerebbe che la componente tonale a 80 Hz svetti sulle altre, cioè sia quella che raggiunge l'altezza maggiore. Prendiamo però in considerazione l'isofonica verde al centro del digramma di Fletcher e Manson. Riferendoci a questa curva, si vede che altre due vette, più elevate di quella a 80 Hz, la intersecano e la superano. Questo allora significa che la componente tonale a 80 Hz non è da penalizzare con il fattore correttivo, perché non "svetta" sul diagramma delle isofoniche stesso.

 

 

ESERCIZI SULLA MANIPOLAZIONE NUMERICA DEI LIVELLI SONORI

Somma di segnali

Somma coerente

Prendiamo il caso di un tubo in cui poniamo alle estremità due altoparlanti e al centro un microfono collegato ad un trasduttore di segnale. Mettendo in funzione il primo altoparlante otteniamo dal trasduttore una certa forma d'onda (intensità in funzione del tempo). Accendendo il solo secondo altoparlante otteniamo un'onda uguale alla prima. Nei due casi ottengo i seguenti livelli:

              

Se li metto in funzione contemporaneamente, facendo loro trasmettere lo stesso segnale perfettamente in fase, istante per istante le due pressioni sonore si sommano.

 

Se P1=P2

 

Per cui giungiamo al sorprendente risultato che
oppure che!!!

Se sommo 2 livelli non uguali devo invece fare riferimento alla prima formula del livello totale.

 

Somma incoerente

L'esempio che abbiamo visto non è però realistico, in quanto non posso ricevere due suoni assolutamente identici: solitamente i due suoni sono già diversi in partenza e comunque percorrono distanze diverse prima di giungere al microfono, per cui hanno fase tra di loro random: a volte si sommano raddoppiando effettivamente la pressione sonora, a volte s'annullano, a volte sono a fase intermedie.

Per calcolare il livello sonoro totale occorre fare un'ipotesi diversa, vale a dire sfruttando il principio di conservazione dell'energia: la densità d'energia sonora sarà uguale alla somma aritmetica delle due prese singolarmente.

Figura 17: Somma incoerente

è normalmente proporzionale all'energia, perciò si può supporre e quindi:

Se P1=P2

Per cui ad esempio . In linea di massima, per somma di due livelli intendiamo sempre somma incoerente.

Nel grafico qui sotto è indicato quanto dobbiamo sommare al livello del maggiore dei due segnali per ottenere il livello totale.

 

Fig. 18

 

Infatti, grazie alle proprietà del logaritmo il valore da sommare dipende solo dalla differenza di livello tra i due segnali e non dal livello di partenza. Come si può notare, se viene sommato un livello inferiore di 10 dB rispetto al primo, questo rimane sostanzialmente invariato (+0,4) per cui solitamente si dice che .

L'effetto pratico è che un fonografo non avverte nessuna differenza all'attivazione della sorgente più debole, quando invece il nostro orecchio se ne accorge: il suono è cioè trascurabile dal punto di vista del livello totale, ma è comunque udibile (sempre se non siamo in presenza del fenomeno di mascheramento).

Se dall'espressione di L1 e L2 ricavo e :

 

          e         

 

Sostituendo nell'espressione di LTOT ottengo:

Ad esempio, se L₁= 78 dB e L₂= 80 dB otteniamo un L_TOT= 82.12 dB.

Esercizio

Di un segnale sonoro mi vengono forniti i livelli delle componenti alle varie frequenze (spettro). I dati sono riportati nella tabella sottostante:

 

Frequenza	Livello in dB	Fattore di correzione	Livello in dB(A)
125	88	-16,1	71,9
250	84	-8,6	75,4
500	80	-3,2	76,8
1000	79	0	79
2000	76	1.2	77,2
4000	78	1	79

 

Mi viene richiesto il livello totale in dB e quello ponderato in dB(A).

 

 

 

Proviamo ora a calcolare il livello totale in dB(A): come si vede dalla tabella, è sufficiente applicare i fattori correttivi indicati precedentemente per ottenere i livelli in dB(A)

 

Occorre osservare che la seconda cifra decimale non ha alcun significato fisico in quanto la sensibilità dell'orecchio umano e di molti strumenti non arriva neanche al decimo di decibel.